03年高等数学（二）考试大纲
2003-08-27 15:53:00 来源：中国招生考试在线
高等数学（二）
本大纲适用于经济学、管理学以及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类等六个一级学科的考生。
总要求
考生应按本大纲的要求了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微积分初步的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地判断和证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。
复习考试内容
一、函数、极限和连续
（一）函数
1．知识范围
（1）函数的概念
函数的定义 函数的表示法 分段函数 隐函数
（2）函数的性质
单调性 奇偶性 有界性 周期性
（3）反函数
反函数的定义 反函数的图像
（4）函数的四则运算与复合运算
（5）基本初等函数
幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数
（6）初等函数
2．要求
（1）理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数图像。
（2）理解函数的单调性、奇偶件、有界性和周期性。
（3）了解函数 与其反函数 之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。
（4）熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
（5）掌握基本初等函数的性质及其图像。
（6）了解初等函数的概念。
（7）会建立简单实际问题的函数关系式。
（二）极限
1．知识范围
（1）数列极限的概念
数列 数列极限的定义
（2）数列极限的性质
唯一性 有界性 四则运算法则 夹逼定理 单调有界数列极限存在定理
（3）函数极限的概念
函数在一点处极限的定义 左、右极限及其与极限的关系 趋于无穷 时函数的极限 函数极限的几何意义
（4）函数极限的性质
唯一性 四则运算法则 夹逼定理
（5）无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量的定义 无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量的性质 无穷小量的阶
（6）两个重要极限
2．要求
（1）了解极限的概念（对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”的描述不作要求）。掌握函数在一点处的左极限与右极限，以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会用等价无穷小量代换求极限。
（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
（三）连续
1．知识范围
（1）函数连续的概念
函数在一点处连续的定义 左连续与右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类
（2）函数在一点处连续的性质
四则运算连续性 复合函数连续性
（3）闭区间上连续函数的性质
有界性定理 最大值与最小值定理 介值定理（包括零点定理）
（4）初等函数的连续性
2．要求
（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处的连续性的方法。
（2）会求函数的间断点及确定其类型。
（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用它们证明一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
二、一元函数微分学
（一）导数与微分
1．知识范围
（1）导数概念
导数的定义 左导数与右导数 函数在一点处可导的充分必要条件
导数的几何意义 可导与连续的关系
（2）导数的四则运算法则与导数的基本公式
（3）求导方法
复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法
（4）高阶导数
高阶导数的定义 高阶导数的计算
（5）微分
微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性
2．要求
（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
（4）掌握隐函数求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。
（5）了解高阶导数的概念，会求函数的高阶导数。
（6）理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
（二）中值定理及导数的应用
1．知识范围
（1）中值定理
罗尔（Rolle）中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理
（2）洛必达（L’Hospital）法则
（3）函数增减性的判定法
（4）函数的极值与极值点 最大值与最小值
（5）曲线的凹凸性、拐点
（6）曲线的水平渐近线与铅直渐近线
2．要求
（1）了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理（知道它们的条件、结论及其几何意义）。
（2）熟练掌握用洛必达法则求“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”型未定式的极限的方法。
（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。
（4）理解函数极值的概念。掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用问题。
（5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
（6）会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。
（7）会作函数的图形。
三、一元函数积分学
（一）不定积分
1．知识范围
（1）不定积分
原函数与不定积分的定义 不定积分的性质
（2）基本积分公式
（3）换元积分法
第一换元法（凑微分法） 第二换元法
（4）分部积分法
（5）一些简单有理函数的积分
2．要求
（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
（2）熟练掌握不定积分的基本公式。
（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。
（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。
（5）掌握简单有理函数不定积分的计算。
（二）定积分
1．知识范围
（1）定积分的概念
定积分的定义及其几何意义 可积条件
（2）定积分的性质
（3）定积分的计算
变上限的定积分 牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 换元积分法
分部积分法
（4）无穷区间的广义积分
收敛 发散 计算方法
（5）定积分的应用
平面图形的面积 旋转体的体积
2．要求
（1）理解定积分的概念及其几何意义，了解可积的条件。
（2）掌握定积分的基本性质。
（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
（4）熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
（6）理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成旋转体的体积。
四、多元函数微积分初步
1．知识范围
（1）多元函数
多元函数的定义 二元函数的定义域 二元函数的几何意义
（2）二元函数的极限与连续的概念。
（3）偏导数与全微分
一阶偏导数 二阶偏导数 全微分
（4）复合函数的偏导数 隐函数的偏导数
（5）二元函数的无条件极限
（6）二重积分
二重积分的概念 二重积分的性质 直角坐标系下的二重积分计算
2．要求
（1）了解多元函数的概念、会求二元函数的定义域，了解二元函数的几何意义。
（2）了解二元函数的极限与连续的概念。
（3）理解二元函数的一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法。
（4）掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。
（5）会求二元函数的无条件极值。
（6）理解二重积分的概念，掌握二重积分的性质，熟练掌握直角坐标系下的二重积分的计算方式。
考试形式及试卷结构
试卷总分：150分
考试时间：150分钟
考试方式：闭卷，笔试
试卷内容比例：
函数、极限和连续 约20%
一元函数微分学 约30%
一元函数积分学 约30%
多元函数微积分初步 约20%
试卷题型比例：
选择题 约15%
填空题 约25%
解答题 约60%
试题难易比例：
容易题 约30%
中等难度题 约50%
较难题 约20%
样 卷
全国各类成人高等学校招生统一考试
专科起点升本科高等数学（二）试卷
考生注意：根据国标要求，试卷中正切函数、余切函数、反正切函数和反余切函数分别用 表示。
一、 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1．设函数 在 处连续，则 等于（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
2．下列函数中在 处可导的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数 在 内是（ ）
A．单调增加 B．单调减少
C．不单调 D．不连续
4．设函数 在区间 内满足 且 ，则函数在此区间内是（ ）
A．单调减少且凹的 B．单调减少且凸的
C．单调增加且凹的 D．单调增加且凸的
5．设函数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分。把答案填在题中横线上。
6． = ．
7．设函数 ，则 ．
8．设函数 ，则 ．
9．曲线 的拐点坐标是 ．
10．设函数 的 ，则 ．
11．若 ，则 ．
12．设 ，则 ．
13．不定积分 ，则 ．
14．若 ，则 ．
15．若积分区域D是由 围成的矩形区域，则
．
三、解答题：本大题共13个小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。
16．（本题满分6分）
计算 ．
17．（本题满分6分）
求极限 ．
18．（本题满分6分）
求极限 ．
19．（本题满分6分）
设函数 ，其中 可导，求 ．
20．（本题满分6分）
设函数 ，求 ．
21．（本题满分6分）
设函数 由方程 确定，试求 ．
22．（本题满分6分）
计算 ．
23．（本题满分6分）
计算 ．
24．（本题满分6分）
计算 ．
25．（本题满分6分）
设函数 ，求 ．
26．（本题满分10分）
求函数 的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点，水平与铅
直渐近线．
27．（本题满分10分）
设
（1）交换二次积分次序，
（2）计算I的值．
28．（本题满分10分）
已知 ，
证明： ．
参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．A 4．D 5．B
二、填空题
6． 7． 8． D．
10．2 11． 12．
13． 14． 15．
三、解答题
16．解
．
17．解
．
18．解
19．解 ．
20．解 对等式两边取对数得
，
等式两边对 求导得
所以
21．解 等式两边对 求导得
，
所以 ．
22．解
23．解 设 ，则 ，
所以
．
24．解
25．解 等式两边对 求导得
，
等式两边对 求导得
，
所以
26．解 函数的定义域为：
，
令 得 ，令 得 ．
列表得
+ 0 － －
－ － 0 +
所以函数 的单调增加区间为 ，
函数 的单调减少区间为
为函数的极大值，
函数曲线的凸区间为 ，
函数曲线的凹区间为 ，
函数曲线的拐点为 ，
因为 ，
，
所以 为曲线 的水平渐近线，
为曲线 的铅直渐近线．
27．解 画出二重积分的积分区域D如图所示：
（1）交换积分次序得
（2）
28．证 将已知等式化简得：
，
等式两边对 求导得：
，
即 ，
令 得 ，
即 ．
本大纲适用于经济学、管理学以及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类等六个一级学科的考生。
总要求
考生应按本大纲的要求了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微积分初步的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地判断和证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。
复习考试内容
一、函数、极限和连续
（一）函数
1．知识范围
（1）函数的概念
函数的定义 函数的表示法 分段函数 隐函数
（2）函数的性质
单调性 奇偶性 有界性 周期性
（3）反函数
反函数的定义 反函数的图像
（4）函数的四则运算与复合运算
（5）基本初等函数
幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数
（6）初等函数
2．要求
（1）理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数图像。
（2）理解函数的单调性、奇偶件、有界性和周期性。
（3）了解函数 与其反函数 之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。
（4）熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
（5）掌握基本初等函数的性质及其图像。
（6）了解初等函数的概念。
（7）会建立简单实际问题的函数关系式。
（二）极限
1．知识范围
（1）数列极限的概念
数列 数列极限的定义
（2）数列极限的性质
唯一性 有界性 四则运算法则 夹逼定理 单调有界数列极限存在定理
（3）函数极限的概念
函数在一点处极限的定义 左、右极限及其与极限的关系 趋于无穷 时函数的极限 函数极限的几何意义
（4）函数极限的性质
唯一性 四则运算法则 夹逼定理
（5）无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量的定义 无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量的性质 无穷小量的阶
（6）两个重要极限
2．要求
（1）了解极限的概念（对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”的描述不作要求）。掌握函数在一点处的左极限与右极限，以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会用等价无穷小量代换求极限。
（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
（三）连续
1．知识范围
（1）函数连续的概念
函数在一点处连续的定义 左连续与右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类
（2）函数在一点处连续的性质
四则运算连续性 复合函数连续性
（3）闭区间上连续函数的性质
有界性定理 最大值与最小值定理 介值定理（包括零点定理）
（4）初等函数的连续性
2．要求
（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处的连续性的方法。
（2）会求函数的间断点及确定其类型。
（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用它们证明一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
二、一元函数微分学
（一）导数与微分
1．知识范围
（1）导数概念
导数的定义 左导数与右导数 函数在一点处可导的充分必要条件
导数的几何意义 可导与连续的关系
（2）导数的四则运算法则与导数的基本公式
（3）求导方法
复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法
（4）高阶导数
高阶导数的定义 高阶导数的计算
（5）微分
微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性
2．要求
（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
（4）掌握隐函数求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。
（5）了解高阶导数的概念，会求函数的高阶导数。
（6）理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
（二）中值定理及导数的应用
1．知识范围
（1）中值定理
罗尔（Rolle）中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理
（2）洛必达（L’Hospital）法则
（3）函数增减性的判定法
（4）函数的极值与极值点 最大值与最小值
（5）曲线的凹凸性、拐点
（6）曲线的水平渐近线与铅直渐近线
2．要求
（1）了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理（知道它们的条件、结论及其几何意义）。
（2）熟练掌握用洛必达法则求“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”型未定式的极限的方法。
（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。
（4）理解函数极值的概念。掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用问题。
（5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
（6）会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。
（7）会作函数的图形。
三、一元函数积分学
（一）不定积分
1．知识范围
（1）不定积分
原函数与不定积分的定义 不定积分的性质
（2）基本积分公式
（3）换元积分法
第一换元法（凑微分法） 第二换元法
（4）分部积分法
（5）一些简单有理函数的积分
2．要求
（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
（2）熟练掌握不定积分的基本公式。
（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。
（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。
（5）掌握简单有理函数不定积分的计算。
（二）定积分
1．知识范围
（1）定积分的概念
定积分的定义及其几何意义 可积条件
（2）定积分的性质
（3）定积分的计算
变上限的定积分 牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 换元积分法
分部积分法
（4）无穷区间的广义积分
收敛 发散 计算方法
（5）定积分的应用
平面图形的面积 旋转体的体积
2．要求
（1）理解定积分的概念及其几何意义，了解可积的条件。
（2）掌握定积分的基本性质。
（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
（4）熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
（6）理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成旋转体的体积。
四、多元函数微积分初步
1．知识范围
（1）多元函数
多元函数的定义 二元函数的定义域 二元函数的几何意义
（2）二元函数的极限与连续的概念。
（3）偏导数与全微分
一阶偏导数 二阶偏导数 全微分
（4）复合函数的偏导数 隐函数的偏导数
（5）二元函数的无条件极限
（6）二重积分
二重积分的概念 二重积分的性质 直角坐标系下的二重积分计算
2．要求
（1）了解多元函数的概念、会求二元函数的定义域，了解二元函数的几何意义。
（2）了解二元函数的极限与连续的概念。
（3）理解二元函数的一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法。
（4）掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。
（5）会求二元函数的无条件极值。
（6）理解二重积分的概念，掌握二重积分的性质，熟练掌握直角坐标系下的二重积分的计算方式。
考试形式及试卷结构
试卷总分：150分
考试时间：150分钟
考试方式：闭卷，笔试
试卷内容比例：
函数、极限和连续 约20%
一元函数微分学 约30%
一元函数积分学 约30%
多元函数微积分初步 约20%
试卷题型比例：
选择题 约15%
填空题 约25%
解答题 约60%
试题难易比例：
容易题 约30%
中等难度题 约50%
较难题 约20%
样 卷
全国各类成人高等学校招生统一考试
专科起点升本科高等数学（二）试卷
考生注意：根据国标要求，试卷中正切函数、余切函数、反正切函数和反余切函数分别用 表示。
一、 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1．设函数 在 处连续，则 等于（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
2．下列函数中在 处可导的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数 在 内是（ ）
A．单调增加 B．单调减少
C．不单调 D．不连续
4．设函数 在区间 内满足 且 ，则函数在此区间内是（ ）
A．单调减少且凹的 B．单调减少且凸的
C．单调增加且凹的 D．单调增加且凸的
5．设函数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分。把答案填在题中横线上。
6． = ．
7．设函数 ，则 ．
8．设函数 ，则 ．
9．曲线 的拐点坐标是 ．
10．设函数 的 ，则 ．
11．若 ，则 ．
12．设 ，则 ．
13．不定积分 ，则 ．
14．若 ，则 ．
15．若积分区域D是由 围成的矩形区域，则
．
三、解答题：本大题共13个小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。
16．（本题满分6分）
计算 ．
17．（本题满分6分）
求极限 ．
18．（本题满分6分）
求极限 ．
19．（本题满分6分）
设函数 ，其中 可导，求 ．
20．（本题满分6分）
设函数 ，求 ．
21．（本题满分6分）
设函数 由方程 确定，试求 ．
22．（本题满分6分）
计算 ．
23．（本题满分6分）
计算 ．
24．（本题满分6分）
计算 ．
25．（本题满分6分）
设函数 ，求 ．
26．（本题满分10分）
求函数 的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点，水平与铅
直渐近线．
27．（本题满分10分）
设
（1）交换二次积分次序，
（2）计算I的值．
28．（本题满分10分）
已知 ，
证明： ．
参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．A 4．D 5．B
二、填空题
6． 7． 8． D．
10．2 11． 12．
13． 14． 15．
三、解答题
16．解
．
17．解
．
18．解
19．解 ．
20．解 对等式两边取对数得
，
等式两边对 求导得
所以
21．解 等式两边对 求导得
，
所以 ．
22．解
23．解 设 ，则 ，
所以
．
24．解
25．解 等式两边对 求导得
，
等式两边对 求导得
，
所以
26．解 函数的定义域为：
，
令 得 ，令 得 ．
列表得
+ 0 － －
－ － 0 +
所以函数 的单调增加区间为 ，
函数 的单调减少区间为
为函数的极大值，
函数曲线的凸区间为 ，
函数曲线的凹区间为 ，
函数曲线的拐点为 ，
因为 ，
，
所以 为曲线 的水平渐近线，
为曲线 的铅直渐近线．
27．解 画出二重积分的积分区域D如图所示：
（1）交换积分次序得
（2）
28．证 将已知等式化简得：
，
等式两边对 求导得：
，
即 ，
令 得 ，
即 ．
