高等数学（一）命题预测试卷（一）
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
2．设平面 ： ，直线 ： ，则它们的位置关系是（ ）
A．直线 与平面 平行 B．直线 与平面 垂直
C．直线 与平面 上 D．直线 与平面 有一个交点但不垂直
3．下列级数中为绝对收敛的级数是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于微分方程 ，利用待定系数法求其特解 时，下列特解设法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列广义积分收敛的是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分。把答案填在题中横线上）
6．设 ，则函数 的连续区间为 。
7．曲线 ： 在 处的切线方程为 。
8．设 ，则 = 。
9．设 ，且 ，则 。
10．积分 。
11．平行于 轴且经过 ， 两点的平面方程为 。
12．与向量 垂直的单位向量为 。
13．幂级数 的收敛半径R = 。
14．微分方程 的通解为 。
15．设 在 ： 上连续，则
= 。

三、解答题（本大题共13个小题，共90分。解答写出推理、演算步骤）
16．（本题满分6分）
求 ．




17．（本题满分6分）
设函数 由方程 确定，求 ．




18．（本题满分6分）
设 均为函数 的极值点，求 的值．



19．（本题满分6分）
计算 ．



20．（本题满分6分）
设 ，计算 ．



21．（本题满分6分）
计算 ，其中 ： ．



22．（本题满分6分）
设 由 所确定，求 ．





23．（本题满发6分）
求以点（0，0，1）为顶点，椭圆 为准线的锥面方程。



24．（本题满分6分）
把函数 展开为 的幂级数，并写出它的收敛区间。




25．（本题满分6分）
求解方程 ．



26．（本题满分10分）
讨论曲线 的凹凸性并求其拐点．




27．（本题满分10分）
设连续函数 满足方程 ，求 ．




28．（本题满分10分）
设 可导，求证： ．



参考答案
一、 选择题
1．B 2．D 3．B 4．C 5．B
二、填空题
6． 7．
8． 9．
10． 11．
12． 13．0
14． 15．
三、解答题
16．解

17．解 把 代入 ，得
方程两边求导，得
将 代入上式
故 即 ．
18．解
由 在 时为极值点知
于是 解得
19．解
而对于 ，令 ，则
=
故


20．解







21．解

．
22．解 由方程 得
故
从而 ．
23．解 过椭圆上任一点 的母线方程为

故
又 在椭圆上
故 ，即
从而锥面方程为 ．
24．解

由 解出收敛区间为（－1，1）．
25．解 对应的齐次方程 ，即
解得通解为
将C换成 ，即
代入原方程，得 ，知
即
从而原方程的通解为
将初始条件代入，得
于是所求解为 ．
26．解 先求其二阶导数
令 得
列表如下讨论其凹凸性
0 1
＋ 0 － 0 ＋
上凹 拐点（0，1） 下凹 拐点（1，0） 上凹

27．解 已知方程两边对 求导，得
即
于是根据一阶线性方程的求解公式，得



又由已知方程知， ，则 ，知
故所求函数 为 ．
28．证 令
则

于是