高等数学（一）命题预测试卷（三）
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设函数 ，则 在点 处（ ）
A．可导 B．不连续
C．连续，但不可导 D．可微
2．方程 满足定解条件 的特解是（ ）
A． B．
C． D．
3．设 ，则当 时（ ）
A． 是比 高阶的无穷小 B． 是比 低阶的无穷小
C． 与 为同阶无穷小 D． 与 为等阶无穷小
4．幂级数 的收敛区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分。把答案填在题中横线上）
6．如果 ，那么 ．
7． ．
8．设函数 ，则在点 处， 间断．
9．设函数 在点 处有 ，那么 ．
10． ．
11． ．
12．过点（0，2，4）且与两平面 平行的直线方程（标准式）为 ．
13．改变二次积分 的次序，则I = ．
14．微分方程 的通解为 ．
15．已知 ，且 ，则 ．

三、解答题（本大题共13个小题，共90分。解答写出推理、演算步骤）
16．（本题满分6分）
设 ，问k为何值时，函数 在其定义域内连续．




17．（本题满分6分）
设 ，求 ．




18．（本题满分6分）
求由方程 所确定的隐函数 的导数 ．




19．（本题满分6分）
讨论函数 在点 处的连续性与可导性．



20．（本题满分6分）
设 ，求 ．



21．（本题满分6分）
判别级数 的敛散性．




22．（本题满分6分）
求函数 的麦克劳林展开式（须指出收敛区间）．



23．（本题满分6分）
求解 ．



24．（本题满分6分）
计算 ．



25．（本题满分6分）
设 ，求 ．



26．（本题满分10分）
设函数的图形上有一拐点P（2，4），在拐点P处曲线的切线斜率为－3，又知该函数的二阶导数 ．求此函数．



27．（本题满分10分）
对某个量 进行 次测量，得 个测量值： ．试证：当 取这 个数的算术平均值 时所产生的误差的平方和 最小．




28．（本题满分10分）
设 ，求 ．




参考答案
一、 选择题
1．C 2．D 3．C 4．D 5．C
二、填空题
6． 7．0
8． 9．1
10． 11．
12． 13．
14． 15．2
三、解答题
16．解 函数 的定义域为 ， 在 和 均为初等函数
故 在 和 上连续。
当 时， ，
，
故 ，而 ．
故 ．
17．解 令 ，则 ，
故
由于u对自变量具有对称性．
故
从而
同理
因而 ．
18．解
两边对 求导，得

即 ．
19．解 为有界变量，而 时， 为无穷小量．

故 ，即 在 处连续
又

即 不存在，故 在 处不可导．
20．解 由定积分性质将 化为

故

．
21．解
又 发散，故级数 发散．
22．解
而

故
23．解 对应齐次方程的特征方程为 ，得
故齐次方程的通解为
令原方程的特解为
对 求二阶导数并代入原方程后，得 ，从而

故原方程的通解为

又 得 即
因而所求的特解为 ．
24．解





故

．
25．解

故 ．
26．解 设所求函数 ，则由 ，得

（ 为任意常数）
由题意，有
．
即 得
故所求函数为 ．
27．证 令
则
由 得驻点
由于
故 为惟一的极小值点，从而它也是在 内的最小值点
即当 取 时， 为最小．
28．解 令


两边对 积分，得
即


故 ．