国防科技大学2003年离散数学考研试题

来源：时间：2007-06-06 14:41:48

国防科技大学2003年离散数学考研试题

考生注意：答案必须写在统一配发的答题纸上！

一、（每小题10分，共20分）
设 A = {a, b, c, d}，A 上的二元关系 R1和 R2定义如下：
R1 = {<a, b>, <b, c>, <c, d>, <d, a>}
R2= IA∪{<a, b>,<b, a>,<c, d>,<d, c>}
i) 试分别指出R1和R2所具有的性质（即是否具有自反性，反自反性，对称性，反对称性和传递性这五种性质）。
ii) 试求出R12，R22，R1•R2， R1 和 R2 。

二、（15分）
设函数ƒ : X→Y 且 g : X→Y ，若令
A = {a∈X | g (ƒ(a))=a} 且 B = {b∈Y |ƒ(g (b))=b}
则 ƒ[A]= B。

三、（20分）
设 A 为有限集且ƒ:A→A , 证明：
a) 若有自然数 n≥1 使 ƒ n =IA ，则ƒ为双射；
b) 若ƒ为双射，则有自然数 n≥1 使 ƒ n =IA 。

四、（15分）
求合式公式（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→R）<==>R 的主合取范式和主析取范式。

五、（15分）
试判断下列合式公式是否为永真式，并证明你的结论：
(Ax)(P(x)∨Q(x))→(Ax)P(x)∨(Ey)Q(y)，其中P和Q均为一元谓词。

六、（每小题10分，共30分）
用自然推理系统证明：
i) ﹁A∧﹁B ┣ ﹁(﹁A→B )
ii) ﹁(﹁A→B ) ┣ ﹁A∧﹁B
iii) (Ex)(﹁A(x)) ┣ ﹁(Ax)A(x)

七、（15分）
试求叶的权分别为 2，3，3，4，5，6，8 的最优叶加权二叉树及其叶加权路径长度。

八、（20分）
设n阶简单无向图G的边数 m >(1/2) (n-1)(n-2)，则G为连通的。

结束

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